1、M₁=qm₁+r,504=100×5+4,c₀=1;

2、◆由于a₄=0所以M₄⁻¹M₄a₄=0；

3、◆M₃=5×7×9=315

4、[x=128>105]：x=x-105=128-105=23

5、x₁被5和7整除，就意味着被5×7=35整除，即，35|x₁，于是，令x₁=35n（n≥1）：

6、八个顺序分别是：

7、五树梅花开一枝，

8、有一筐鸭蛋，1个1个数，正好数完；2个2个数，还剩1个；3个3个数，正好数完；4个4个数，还剩1个；5个5个数，还剩1个；6个6个数，还剩3个；7个7个数，正好数完；8个8个数，还剩1个；9个9个数，正好数完。请问：框里最少有多少个鸭蛋？

9、韩信点兵（点茶）

10、当k为奇数时，则k+1是偶数，这就要算到(6)，对(6)稍作变形：

11、◆M=m₁m₂m₃m₄=5×7×8×9=2520

12、在同余意义下，必有唯一解：

13、三人同行七十稀，

14、验证：易知，

15、*9=4545÷7余32*45=9090÷7余63*45=135135÷7余24*45=180180÷7余55*45=225225÷7余16*45=270270÷7余4（满足）

16、春风拂面（刮沫）

17、数学大神欧拉和高斯对于一般一次同余式进行了详细研究，独立的得到了中国剩余定理，后来证实与秦九韶『大衍求一术』相同，于是才命名该定理为：中国剩余定理。

18、*7=3535÷9余82*35=7070÷9余73*35=105105÷9余64*35=140140÷9余5（满足）63+270+140=473由于473正好在范围内,这队兵有374人

19、接着，定义两个数列：

20、汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”

21、M₁⁻¹=4，M₁⁻¹M₁a₁=4×504×1=2016；

22、最终答案：框里最少有441个鸭蛋。

23、题目翻译成现今的数学语言如下：

24、关公巡城（倒茶）

25、则(8')和(8)等价。由于5,7,9,8两两互素，符合中国剩余定理要求，于是解：

26、令，r是Mᵢ除以mᵢ的余数，即，

27、韩信点兵多多益善！帅才！韩信在刘邦面前暴露了！

28、一个数字必然被1整除，因此①没有意义，删除；一个数字被9整除，必然会被3整除，因此保留⑨删除③；一个数字被8除余1，则可以表示为8x+1，进而有2(4x)+1，4(2x)+1，于是x一定可以被2和4整除，因此保留⑧删除②和④；目前已经保证了被2除余1，可表示为2x+1，也保持了被3整除，于是有3(2x+1)=6x+1，这说明目前已经保持了被6除余3，因此⑥可以被删除；最后剩下⑤和⑦保留。得到：

29、到r_k=1终止。如果向下进行一步就是：

30、五树梅花廿一枝，

31、比较(5)得到：

32、将上面的结果相加得到：x’=2x₁+3x₂+2x₃=140+63+30=233，则容易验证x‘是同余方程组(1)的一个解，但是x’不是最小整数解x。很容易可以发现x'减去一个同时被3、5和7整除并且不大于x'的整数，结果依然是(1)的解，由于，同时3、5和7整除，就意味着被3×5×7=105整除，于是得出：

33、韩信点兵泛指”物不知数“此类一次同余方程组求解问题。南宋著名数学家秦九韶对《孙子算经》中的算法进行了深入研究，将其扩展为『大衍总数术』，彻底解决了韩信点兵问题，这就是《初等数论》中的中国剩余定理（也称孙子定理）：

34、今有物，不知其数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二。问物几何？

35、M₃=qm₃+r,315=39×8+3,c₀=1;

36、（由于本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师批评指正！）

37、注：正半月就是十五天，除是除去（减去）之意。

38、x=2×70+3×21+2×15-2×(3×5×7)=23

39、当n=1时x₁=35，35mod3=2不满足②舍弃；

40、韩信点兵多多益善，就是韩信带的兵越多越好。

41、注：这里只是给出了定理的验证，并没有严格证明同余意义下的唯一性。证明中国剩余定理，有多种方法大家有兴趣可以参考《初等数论》。

42、◆M₁=7×8×9=504

43、这样我们就将辗转相除又延长了一步到k+1，这时k+1是偶数，则同理上面情况可得到：

44、韩信点兵问题最早出自《孙子算经》。《孙子算经》是中国古代非常重要的数学著作，因数学家孙子贡献最大而得名（关于孙子的资料不可考），大约成书于东晋十六国时期，现存最早为北宋刻本，全书分三卷：《卷上》、《卷中》、《卷下》，主要讲述度量规定和算筹运算以及基于它们的数学应为问题，韩信点兵为《卷下》第二十六题”物不知数“，原文如下：

45、七子团圆正月半，

46、r=q₂r₁+r₂,3=1×2+1,c₂=q₂c₁+c₀=1×2+1=3；(r₂=1，下标2是偶数，得到结果)

47、这样就得到了最终答案：x=23。

48、鉴尝汤色（看茶）

49、前面再加上(4)，整个过程就是欧几里得辗转相除法，因此r_k为Mᵢ和mᵢ的最大公约数，而m₁,m₂,...,m_n是两两互素，于是有：r_k=(Mᵢ,mᵢ)=1，这样就证明了最后总可以终止于1的正确性。

50、答曰：二十三。

51、除百零五便得知。

52、[x=233>105]：x=x-105=233-105=128

53、这就说明(3')的确是(3)的解。

54、并重新令：

55、进而，有如下算法：

56、术曰：“三、三数之，剩二”，置一百四十；“五、五数之，剩三”，置六十三；“七、七数之，剩二”，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之，剩一，则置七十；五，五数之，剩一，则置二十一；七、七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。

57、x=M₁⁻¹M₁a₁+M₂⁻¹M₂a₂+M₄⁻¹M₄a₄=2016+0+945+0=2961

58、茶壶一开始出汤时在摆成品字型的三个杯子快速轮换，称之为“关公巡城”，既形象，又生动，也道出了这一动作的连贯性。

59、最后，需要说明的是：

60、有一个正整数x，知x除以3余2、除以5余数3、除以7余数2，求x的最小值。

61、再结合(3'')，由(3')可以推出：

62、设m₁,m₂,...,m_n是两两互素的正整数，那么对于任意整数a₁,a₂,...,a_n组成的一次同余方程组：

63、口诀是：

64、当k为偶数时有：

65、x=x'(mod105)

66、x>M,x=x-M=2961-2520=441

67、寻中最小正整数x₁，满足：x₁被5和7整除并且除以3余1，即，5|x₁,7|x₁并且x₁mod3=1②

68、将整个求解过程写成算式就是：

69、由于x₁≡1(mod3)，故2x₁≡2(mod3)，于是得到2x₁=140，它满足：除以3余2并且被5和7整除。

70、乌龙入宫（落茶）

71、秦九韶分别称M、Mᵢ、Mᵢ⁻¹为衍母、衍数、乘率，这里的关键是求乘率Mᵢ⁻¹，方法如下：

72、m₃=q₁r+r₁,8=2×3+2,c₁=q₁=2;

73、这样归纳的证明了(7)成立。

74、据说,古代楚汉时期,为保守军事秘密,韩信在统计兵员时,让各部队只报三三数之余几,五五数之余几,七七数之余几,只报余数不报总数,韩信自然就会算出总数.例如:[1]甲报其部队伤亡人数为:三三数之余一,五五数之余四,七七数之余五;[2]乙报其部现有人数是:三三数之余二,五五数之余三,七七数之不余;[3]丙报三三数之余二,五五数之余四,七七数之余六.韩信能立即算出甲乙丙三数分别是19,98,104.这个是隔山点兵的故事你说的顺口溜是这个么？

75、三人同行70稀，五马破曹21，七子团圆正月半，105便可知

76、令x=x'；

77、求得满足：可被3和5整除并且除以7余1的最小正整数x₃=15，从而得到，同样可被3和5整除但除以7余2的2x₃=30；

78、然后，让mᵢ和r辗转相除，得到：

79、品啜甘霖（喝茶）

80、悬壶高冲（冲茶）

81、[x=23<105]：OK！

82、当n=2时x₁=70，70mod3=1刚好满足②，Bingo~~~。

83、m₁=q₁r+r₁,5=1×4+1,c₁=q₁=1;(r₁=1，下标1是奇数，需要再算一步)

84、因为此算法最后总会终止于1，所以被秦九韶称为『大衍求一术』，前缀“大衍”来自于《易经·系辞》：“大衍之数五十，......”。

85、物不知数

86、*9=6363÷5余3（满足）

87、《孙子算经》给出的解法如下：

88、r=q₂r₁+r₂,4=3×1+1,c₂=q₂c₁+c₀=3×1+1=4；(得到结果)

89、为了方便记忆，发明珠算和卷尺的明朝数学家程大位，在其所著的《算法统宗》中，将《孙子算经》的算法编成"孙子歌诀"如下：

90、按照题目所述，列同余方程组如下：

91、可以是107人，也可以是212人，路上行人七十七五马，破曹二十一七次，团员半月瓣退去105便可知

92、如果x>105（原文为106=x₁+x₂+x₃）则令x=x-105，否则x为最终答案；

93、中国剩余定理，在《抽象代数》中还有另外的形式，不过这就扯远了，就此打住。

94、白鹤沐浴（洗杯）

95、◆由于a₂=0所以M₂⁻¹M₂a₂=0；

96、关于功夫茶文化，有这样几句话，其中两句是：“关公巡城，韩信点兵”，它是整个表演仪式中极为精彩的部分，妙用历史典故，形容整个饮茶的过程。

97、于是，令，

98、当然，中国剩余定理要求m₁,m₂,...,m_n必须两两互素，对于那些不满足这个条件的一次同余方程组可以转换为和其同解的满足这个条件的一次同余方程组。下面举例说明：

99、具体过程如下：

100、这等价于求解《初等数论》中的一次同余方程组：

101、显然1,2,3,4,5,6,7,8,9并不两两互素，因此需要简化：

102、M₂⁻¹=3，M₂⁻¹M₂a₂=3×315×1=945；

103、x=x'=233

104、韩信点兵

105、七子团圆正半月，

106、韩信暗点兵，韩信不是一、二、三、点数，而是，让队伍列队三人同行七十夕,五数梅花二十一,七子团圆正半月,去百零五便得知

107、求得满足：可被3和7整除并且除以5余1的最小正整数x₂=21，从而得到，同样可被3和7整除但除以5余3的3x₂=63；

108、汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。”韩信满不在乎地说：“可以可以。”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。”“刘邦又传令：“每五人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有三人。”刘邦再传令：“每七人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。”一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法，口诀是：三人同行七十稀，五树梅花开一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。”刘邦出的这道题，可用现代语言这样表述：“一个正整数，被3除时余2，被5除时余3，被7除时余2，如果这数不超过100，求这个数。”《孙子算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩二，则置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五，一百六以上，以一百五减之，即得。”用现代语言说明这个解法就是：首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。所求数被3除余2，则取数70×2＝140，140是被5与7整除而被3除余2的数。所求数被5除余3，则取数21×3＝63，63是被3与7整除而被5除余3的数。所求数被7除余2，则取数15×2=30，30是被3与5整除而被7除余2的数。又，140＋63＋30=233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是余2，同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3，233与30被7除的余数相同，都是2。所以233是满足题目要求的一个数。而3、5、7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求。由于所求仅是一小队士兵的人数，这意味着人数不超过100，所以用233减去105的2倍得23即是所求。这个算法在我国有许多名称，如“韩信点兵”，“鬼谷算”，“隔墙算”，“剪管术”，“神奇妙算”等等，题目与解法都载于我国古代重要的数学著作《孙子算经》中。一般认为这是三国或晋时的著作，比刘邦生活的年代要晚近五百年，算法口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》，诗中数字隐含的口诀前面已经解释了。宋朝的数学家秦九韶把这个问题推广，并把解法称之为“大衍求一术”，这个解法传到西方后，被称为“孙子定理”或“中国剩余定理”。而韩信，则终于被刘邦的妻子吕后诛杀于未央宫。请你试一试，用刚才的方法解下面这题：一个数在200与400之间，它被3除余2，被7除余3，被8除余5，求该数。（解：112×2＋120×3＋105×5＋168k，取k＝-5得该数为269。）什么叫做“韩信点兵”？韩信点兵是一个有趣的猜数游戏。如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒左右），先3粒3粒地数，直到不满3粒时，把余数记下来；第二次再5粒5粒地数，最后把余数记下来；第三次是7粒一数，把余数记下来。然后根据每次的余数，就可以知道你原来拿了多少粒蚕豆了。不信的话，你还可以实地试验一下。例如，假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆有多少粒呢？这类题目看起来是很难计算的，可是我国有时候却流传着一种算法，综的名称也很多，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而比较通行的名称是“韩信点兵”。最初记述这类算法的是一本名叫《孙子算经》的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。这在数学史上是极有名的问题，外国人一般把它称为“中国剩余定理”。至于它的算法，在《孙子算经》上就已经有了说明，而且后来还流传着这么一道歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。这就是韩信点兵的计算方法，它的意思是：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的数）；5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），将这些数加起来，若超过105，就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道理，你可以很容易地把前面的五个题目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37因此，你可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。1900年，德国大数学家大卫·希尔伯特归纳了当时世界上尚未解决的最困难的23个难题。后来，其中的第十问题在70年代被解决了，这是近代数学的五个重大成就。据证明人说，在解决问题的过程中，他是受到了“中国剩余定理”的启发的。